Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为____________．

本题主要是考查切线的性质及解直角三角形的应用，关键是利用平行把已知角代换成其它相等的容易求出其正切值的角．可以通过证明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．

 

Answer 1

证明见解析

【解析】【解析】
连接DH．

∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，

∴BD==．

∵O是对称中心，

∴OD=BD=．

∵OH是⊙D的切线，

∴DH⊥OH．

∵DH=1，

∴OH=2．

∴tan∠ADB=tan∠HOD=．

∵∠ADB=∠HOD，

∴OE=ED．

设EH为x，则ED=OE=OH﹣EH=2﹣x．

∴12+x2=（2﹣x）2，即EH=.

又∵∠FOE=∠DHO=90°,

∴FO∥DH,

∴∠EFO=∠HDE,

∴tan∠EFO=tan∠HDE==．