Question

【题目】综合与探究．

如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．

（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．

（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．

（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）；y＝﹣x+2；(2) 4；(3)存在；点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）令y=0可求A与B点坐标，令x=0可求出C点的坐标；设直线BE的解析式为y=kx+b，将B（4，0）、E（0，2）代入解析式可求k与b的值；
（2）设AD的解析式为y=-x+m，将A（-1，0）代入求出m，进而确定直线AD的解析式，再联立求出D点坐标，过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．则S△APD=S△APN+S△DPN=2PN，设P，则N，求出PN=-a2+a+，所以S△APD=-a2+2a+3=-（a-1）2+4，当a=1时，△APD的面积最大，最大值为4；

（3）分两种情况讨论：①当PD与AQ为平行四边形的对边时，由PD=AQ=3，可求Q（2，0）或Q（-4，0）；②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，先求出P或P，再求出PD的中点为或，由平行四边形对角线的性质可求Q或Q．

解：（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），

设直线BE的解析式为y＝kx+b，

将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，

∴y＝﹣x+2；

（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，

将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，

∴y＝﹣x﹣，

联立，

解得：，，

∴D（3，﹣2），

过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．

∴S△APD＝S△APN+S△DPN＝PNAF+PNFG＝PN（AF+FG）＝PNAG＝×4PN＝2PN，

设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），

∴PN＝﹣a2+a+，

∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，

∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，

∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；

（3）存在；

①当PD与AQ为平行四边形的对边时，

∵AQ∥PD，AQ在x轴上，

∴P（0，﹣2），

∴PD＝3，

∴AQ＝3，

∵A（﹣1，0），

∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；

②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，

PD与AQ的中点在x轴上，

∴P点的纵坐标为2，

∴P（，2）或P（，2），

∴PD的中点为（，0）或（，0），

∵Q点与A点关于PD的中点对称，

∴Q（，0）或Q（，0）；

综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．