【题目】如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E 在 AD 上,且 DE=CD,连接 OE,BE, ABE ACB ,若 AE=2,则 OE 的长为___________.
【答案】
【解析】
作∠ACB的平分线CG交BE于G,AC与BE交于点F,首先证明CB=CF,AF=AE=2,然后在Rt△ABC中利用勾股定理构建方程求出DE=CD=AB=6,BC=CF=AD=8,BD=AC=10,过点E作EH⊥BD于H,证明△EHD∽△BAD,利用相似三角形的性质求出EH和DH,进而可得OH,再利用勾股定理求OE即可.
解:作∠ACB的平分线CG交BE于G,AC与BE交于点F,
∵ABE=ACB,GCB=
ACB,
∴ABE=GCB,
∵ABE+∠EBC=90°,
∴GCB+∠GBC=90°,
∴CG⊥BE,
∵CG平分∠ACB,
∴CB=CF,
∴∠FBC=∠BFC=∠AFE,
∵AD∥BC,
∴∠AEF=∠FBC,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AF=AE=2,
设DE=CD=AB=x,则BC=CF=AD=x+2,AC=x+2+2=x+4,
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即x2+(x+2)2=(x+4)2,
解得:x=6(负值已舍去),
∴DE=CD=AB=6,BC=CF=AD=8,BD=AC=10,
过点E作EH⊥BD于H,
∵∠EHD=∠BAD,∠EDH=∠BDA,
∴△EHD∽△BAD,
∴,即
,
∴,
,
∴OH=OD-DH=BD-DH=
,
∴,
故答案为:.
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【题目】已知,AB、AC为圆O的弦,连接CO并延长,交AB于点D,且∠ADC=2∠C;
(1)如图1,求证:AD=CO;
(2)如图2,取弧BC上一点E,连接EB、EC、ED,且∠EDA=∠ECA,延长EB至点F,连接FD,若∠EDF-∠F=60°,求∠BDF的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,若CD=10,,求AC的长度.
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【题目】下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:直线及直线
外一点P.
求作:直线,使
.
作法:如图,
①在直线上取一点O,以点O为圆心,
长为半径画半圆,交直线
于
两点;
②连接,以B为圆心,
长为半径画弧,交半圆于点Q;
③作直线.
所以直线就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明
证明:连接,
∵,
∴__________.
∴(______________)(填推理的依据).
∴(_____________)(填推理的依据).
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【题目】综合与探究.
如图1,抛物线y=x2﹣
x﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线交y轴于点E(0,2).
(1)求A,B,C三点的坐标及直线BE的解析式.
(2)如图2,过点A作BE的平行线交抛物线于点D,点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点,连接PA,PD,求OAPD面积的最大值.
(3)若(2)中的点P为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF.
(1) 求证:CF=AD;
(2) 若CA=CB,∠ACB=90°,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由.
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【题目】已知:△ABC 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线交 CB 的延长线于点 P,且∠PAB=45°.
(1)如图 1,求∠ACB 的度数;
(2)如图 2,AD 是⊙O 的直径,AD 交 BC 于点 E,连接 CD,求证:AC CD ;
(3)如图 3 ,在(2)的条件下,当 BC 4CD 时,点 F,G 分别在 AP,AB 上,连接 BF,FG,∠BFG=∠P,且 BF=FG,若 AE=15,求 FG 的长.
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【题目】已知,如图,在笔山银子岩坡顶处的同一水平面上有一座移动信号发射塔
,
笔山职中数学兴趣小组的同学在斜坡底处测得该塔的塔顶
的仰角为
,然后他们沿着坡度为
的斜坡
攀行了
米,在坡顶
处又测得该塔的塔顶
的仰角为
.求:
坡顶
到地面
的距离;
移动信号发射塔
的高度(结果精确到
米).
(参考数据:,
,
)
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【题目】综合与实践
在数学活动课上,老师给出,
,
.点
为
的中点,点
在射线
上运动,将线段
绕点
逆时针旋转90°得到线段
,连接
,
.过点
作
,交直线
于点
.
(1)若点在线段
上,如图1,
①根据题意补全图1(不要求尺规作图);
②判断与
的数量关系并加以证明;
(2)若点为线段
的延长线上一点,如图2,且
,
,补全图2,求
的面积.
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