Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与坐标轴交与点A、B．点C在x轴的负半轴上，且AB：AC＝1：2．

（1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣3，0）；（2）S＝；（3）存在，满足题意的点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）或（﹣1，0）

【解析】

（1）求出A，B两点的坐标，求出AB＝2，则OC可求出，则点C的坐标可求出；

（2）先求出∠ABC＝90°，分两种情况考虑：当M在线段BC上；当M在线段BC延长线上；表示出BM，利用三角形面积公式分别表示出S与t的函数关系式即可；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，利用菱形的性质，根据AQ与y轴平行或垂直，求出满足题意Q得坐标即可．

解：（1）对于直线y＝﹣x+，

当y＝0 时，＝0，

解得：x＝1，

∴A（1，0），

∴OA＝1，

当x＝0 时，y＝，

∴B（0，），

∴OB＝，

∵∠AOB＝90°，

∴AB＝＝＝2，

∵AB：AC＝1：2，

∴AC＝4，

∴OC＝3，

∴C（﹣3，0）；

（2）如图所示，

∵，，，

∴∠ABO＝30°，

同理：BC＝2，∠OCB＝30°，

∴∠OBC＝60°，

∴∠ABC＝90°，

分两种情况考虑：

①若M在线段BC上时，

BC＝2，CM＝t，可得BM＝BC﹣CM＝2﹣t，

此时S△ABM＝BMAB＝×（2﹣t）×2＝2﹣t（0≤t＜2）；

②若M在BC延长线上时，BC＝2，CM＝t，

可得BM＝CM﹣BC＝t﹣2，

此时S△ABM＝BMAB＝×（t﹣2）×2＝t﹣2（t≥2）；

综上所述，S＝；

（3）存在．若AB是菱形的边，如下图所示，

在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），

在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），

在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），

综上，满足题意的点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）或（﹣1，0）．