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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下五个结论:①△PFA≌△PEB,②EF=AP,③△PEF是等腰直角三角形,④S四边形AEPF= SABC , 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确有 (

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

【答案】C
【解析】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,
∴AP⊥BC,AP= BC=PB,∠B=∠CAP=45°,
∵∠APF+∠FPA=90°,∠APF+∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠APF,
在△BPE和△APF中,

∴△PFA≌△PEB(ASA),即结论①正确;
∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,
∴AP= BC,
又∵EF不一定是△ABC的中位线,
∴EF≠AP,故结论②错误;
∵△PFA≌△PEB,
∴PE=PF,
又∵∠EPF=90°,
∴△PEF是等腰直角三角形,故结论③正确;
∵△PFA≌△PEB,
∴SPFA=SPEB
∴S四边形AEPF=SAPE+SAPF=SAPE+SBPE=SAPB= SABC , 故结论④正确;
综上,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),始终正确的有3个结论.
故选(C)

根据图形旋转的性质,等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理,得出△APF≌△BPE,再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断.

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