Question

16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+2mx-m²+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y₁），E（3，y₂）在抛物线上，若y₁＜y₂，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当-1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从而可求得抛物线的表达式；
（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y₂=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x₁=-1，x₂=3，由抛物线的开口向下，可知当当n＜-1或n＞3时，y₁＜y₂；
（3）先根据题意画出点M关于y轴对称点M′的轨迹，然后根据点M关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，列出关于k的不等式组即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2m}{-1×2}$=1．
解得：m=1．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x．
（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=-3²+2×3=-3．
将y=-3代入得：-x²+2x=-3．
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵a=-1＜0，
∴当n＜-1或n＞3时，y₁＜y₂．
（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：

∵当P=-1时，q=-（-1）²+2×（-1）=-3．
∴点M关于y轴的对称点M₁′的坐标为（1，-3）．
∵当P=2时，q=-2²+2×2=0，
∴点M关于y轴的对称点M₂′的坐标为（-2，0）．
①当k＜0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，
∴-2k-4≤0．
解得：k≥-2．
②当k＞0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，
∴k-4≤-3．
解得；k≤1．
∴k的取值范围是-2≤k≤1．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想列出关于k的不等式组是解题的关键．