Question

【题目】如图1，等边边长为6，是的中线，为线段（不包括端点、上一动点，以为一边且在左下方作如图所示的等边，连结．

（1）点在运动过程中，线段与始终相等吗？说说你的理由；

（2）若延长至，使得，如图2，问：

①求出此时的长；

②当点在线段的延长线上时，判断的长是否为定值，若是请直接写出的长；若不是请简单说明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）①；②定值，8．

【解析】

（1）先证明，然后依据证明，由全等三角形的性质可得到；

（2）过点作，垂足为，先依据等腰三角形三线合一的性质求得，然后由可求得，依据含直角三角形的性质可求得的长，从而可求得的长，然后在中依据勾股定理可求得的长，故此可求得的长，最后根据求解即可；

（3）首先根据题意画出图形，过点作，垂足为．先证，从而得到，由含直角三角形的性质可求得的长，依据勾股定理可求得的长，然后由等腰三角形三线合一的性质可得到，故此可求得的长．

（1）．

理由如下：

和均为等边三角形，

，，．

，

．

在和中，，

．

；

（2）如图2所示：过点作，垂足为．

，是的中线，

．

由（1）可知：，

，．

在中，，

，．

在中，，，

，

．

；

（3）如图3所示：过点作，垂足为．

和均为等边三角形，

，，．

，即，

在和中，，

，

．

在中，，

．

，，

．

．

．