Question

13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）利用图象求不等式：$\frac{m}{x}$＞kx+b．

Answer 1

分析 （1）利用正切函数求得A（ 1，6），然后利用待定系数法即可求得．
（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．

解答 解：（1）过A作AD垂直x轴于点D，
∵A的坐标为（n，6），
∴AD=6，
在Rt△ACD中，tan∠ACO=2，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{6}{2+n}=2$，
解得：n=1，
∴A的坐标为（1，6），
又∵A在$y=\frac{m}{x}$上，
∴m=6，
∵一次函数y=kx+b过A（1，6）和C（-2，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}6=k+b\\ 0=-2k+b\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=4\end{array}\right.$
∴一次函数解析式为y=2x+4．
∴反比例函数解析式为：$y=\frac{6}{x}$，一次函数解析式为：y=2x+4．
（2）解方程组：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{6}{x}\\ y=2x+4\end{array}\right.$
解得：x₁=1（舍去），x₂=-3
∴B的坐标为（-3，-2）．
（3）不等式$\frac{m}{x}＞kx+b$的解集为：x＜-3或0＜x＜1．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析，解方程组等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．