Question

6．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是$\widehat{CAD}$上一点（不与C、D重合），试判断∠CPD与∠COB的大小关系，并说明理由．
（2）点P′在劣弧$\widehat{CD}$上（不与C、D重合时），∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据圆周角定理得到∠CPD=$\frac{1}{2}$∠COD，根据垂径定理得到$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，得到∠BOC=∠BOD，等量代换即可；
（2）根据圆内接四边形的性质解答即可．

解答 解：（1）∠CPD=∠COB．
理由如下：连接OD，
由圆周角定理得，∠CPD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOC=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）∵四边形PCP′D是圆内接四边形，
∴∠CP′D+∠CPD=180°，
∴∠CP′D+∠COB=180°．

点评 本题考查的是垂径定理、圆周角定理和圆内接四边形的性质的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．