【题目】如图,已知:正方形ABCD中,AB=8,点O为边AB上一动点,以点O为圆心,OB为半径的⊙O交边AD于点E(不与点A、D重合),EF⊥OE交边CD于点F.设BO=x,AE=y.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)在点O运动的过程中,△EFD的周长是否发生变化?如果发生变化,请用x的代数式表示△EFD的周长;如果不变化,请求出△EFD的周长;
(3)以点A为圆心,OA为半径作圆,在点O运动的过程中,讨论⊙O与⊙A的位置关系,并写出相应的x的取值范围.
【答案】(1)
(2)△EFD的周长不变.理由见解析;
(3)当⊙O与⊙A相交时, ;当⊙O与⊙A内切时, ;当⊙O与⊙A内含时,
【解析】试题分析: (1)OB、OE均是 O的半径,得出OB=OE,然后在Rt△AOE中,运用勾股定理可得出y与x的关系式,结合二次根式有意义的条件,可得出x的范围;
(2)先判断△AOE∽△DEF,然后根据相似三角形的周长之比等于相似比,可得出△DEF周长的表达式,进一步化简可得出答案;
(3)设 O的半径R1=x,则 A的半径R2=8-x,圆心距d=OA=8-x,分三种情况讨论,依此解出x的范围即可.
试题解析:(1)∵以点O为圆心,OB为半径的⊙O交边AD于点E,
∴OB=OE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,
∴AO2+AE2=OE2,即(8-x)2+y2=x2,
∵y>0,
∴
(2)△EFD的周长不变.
理由如下:
∵EF⊥OE,
∴∠AEO+∠DEF=90°,
∵∠D=∠A=90°,
∴∠AEO+∠AOE=90°,
∴∠DEF=∠AOE,
∴△AOE∽△DEF,
∴=
∴=16
(3)设⊙O的半径R1=x,则⊙A的半径R2=8-x,圆心距d=OA=8-x,
∵4<x<8,
∴R1>R2,
因为点A始终在⊙O内,所以外离和外切都不可能;
当⊙O与⊙A相交时,R1-R2<d<R1+R2,即x-8+x<8-x<x+8-x,
解得:
故可得此时:
②当⊙O与⊙A内切时,d=R1-R2,即8-x=x-8+x,
解得:x=
③当⊙O与⊙A内含时,0<d<R1-R2,即0<8-x<x-8+x,
解得:
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【题目】请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元?
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯,为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定:这两种商品都打八折;乙商场规定:买一个水瓶赠送两个水杯,另外购买的水杯按原价卖.若某单位想要买5个水瓶和20个水杯,请问选择哪家商场购买更合算,并说明理由.(必须在同一家购买)
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【题目】小聪和小敏在研究绝对值的问题时,遇到了这样一道题:
(1)当式子|x﹣1|+|x+5|取最小值时,x应满足的条件是 , 此时的最小值是 . 小聪说:利用数轴求线段的长可以解决这个问题.如图,点A,B对应的数分别为﹣5,1,则线段AB的长为6,我发现也可通过|1﹣(﹣5)|或|﹣5﹣1|来求线段AB的长,即数轴上两点间的线段的长等于它们所对应的两数差的绝对值.
小敏说:我明白了,若点C在数轴上对应的数为x,线段AC的长就可表示为|x﹣(﹣5)|,那么|x﹣1|表示的是线段的长.
小聪说:对,求式子|x﹣1|+|x+5|的最小值就转化为数轴上求线段AC+BC长的最小值,而点C在线段AB上时AC+BC=AB最小,最小值为6.
小敏说:点C在线段AB上,即x取﹣5,1之间的有理数(包括﹣5,1),因此相应x的取值范围可表示为﹣5≤x≤1时,最小值为6.
请你根据他们的方法解决下面的问题:
(2)小敏说的|x﹣1|表示的是线段的长;
(3)当式子|x﹣3|+|x+2|取最小值时,x应满足的条件是;
(4)当式子|x﹣2|+|x+3|+|x+4|取最小值时,x应满足的条件是;
(5)当式子|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|+|x﹣d|(a<b<c<d)取最小值时,x应满足的条件是 , 此时的最小值是 .
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【题目】如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若AC=2, , 求菱形ABCD的面积.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;
(3)若反比例函数(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为10,点E在边AB上,连接ED,过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F,连接EF与边CD相交于点G,对角线BD相交于点H,若BD=BF,求BE的长.
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【题目】如图,正方形ABCD和正方形OEFG中,点A和点F的坐标分别为 (3,2),(-1,-1),则两个正方形的位似中心的坐标是( )
A.(1,0)
B.(-5,-1)
C.(1,0)或(-5,-1)
D.(1,0)或(-5,-2)
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