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【题目】如图,已知:正方形ABCD中,AB=8,点O为边AB上一动点,以点O为圆心,OB为半径的⊙O交边AD于点E(不与点A、D重合),EF⊥OE交边CD于点F.设BO=x,AE=y.

(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(2)在点O运动的过程中,△EFD的周长是否发生变化?如果发生变化,请用x的代数式表示△EFD的周长;如果不变化,请求出△EFD的周长;

(3)以点A为圆心,OA为半径作圆,在点O运动的过程中,讨论⊙O与⊙A的位置关系,并写出相应的x的取值范围.

【答案】(1)

(2)△EFD的周长不变.理由见解析;

(3)当⊙O与⊙A相交时, ;当⊙O与⊙A内切时, ;当⊙O与⊙A内含时,

【解析】试题分析: 1OBOE均是 O的半径,得出OB=OE,然后在RtAOE中,运用勾股定理可得出yx的关系式,结合二次根式有意义的条件,可得出x的范围;

2)先判断AOE∽△DEF,然后根据相似三角形的周长之比等于相似比,可得出DEF周长的表达式,进一步化简可得出答案;

3)设 O的半径R1=x,则 A的半径R2=8-x,圆心距d=OA=8-x,分三种情况讨论,依此解出x的范围即可.

试题解析:(1)∵以点O为圆心,OB为半径的⊙O交边AD于点E,

∴OB=OE,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠A=90°,

∴AO2+AE2=OE2,即(8-x)2+y2=x2

∵y>0,

(2)△EFD的周长不变.

理由如下:

∵EF⊥OE,

∴∠AEO+∠DEF=90°,

∵∠D=∠A=90°,

∴∠AEO+∠AOE=90°,

∴∠DEF=∠AOE,

∴△AOE∽△DEF,

=

=16

(3)设⊙O的半径R1=x,则⊙A的半径R2=8-x,圆心距d=OA=8-x,

∵4<x<8,

∴R1>R2

因为点A始终在⊙O内,所以外离和外切都不可能;

当⊙O与⊙A相交时,R1-R2<d<R1+R2,即x-8+x<8-x<x+8-x,

解得:

故可得此时:

②当⊙O与⊙A内切时,d=R1-R2,即8-x=x-8+x,

解得:x=

③当⊙O与⊙A内含时,0<d<R1-R2,即0<8-x<x-8+x,

解得:

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小聪说:对,求式子|x﹣1|+|x+5|的最小值就转化为数轴上求线段AC+BC长的最小值,而点C在线段AB上时AC+BC=AB最小,最小值为6.
小敏说:点C在线段AB上,即x取﹣5,1之间的有理数(包括﹣5,1),因此相应x的取值范围可表示为﹣5≤x≤1时,最小值为6.
请你根据他们的方法解决下面的问题:
(2)小敏说的|x﹣1|表示的是线段的长;
(3)当式子|x﹣3|+|x+2|取最小值时,x应满足的条件是
(4)当式子|x﹣2|+|x+3|+|x+4|取最小值时,x应满足的条件是
(5)当式子|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|+|x﹣d|(a<b<c<d)取最小值时,x应满足的条件是 , 此时的最小值是

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