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【题目】如图,已知直线PA交⊙OA、B两点,AE是⊙O的直径,C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过CCDPA,垂足为D.

(1)求证:CD为⊙O的切线;

(2)CD=2AD,O的直径为10,求线段AB的长.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

试题(1)要证CD⊙O的切线,只要证CD垂直于对切点的半径,故作辅助线:连接OC,由三角形三个内角和为180°的性质和等腰三角形的判定和性质,即能证出∠DCO =90°,从而得证;

2)要求AB的长,就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系,根据垂径定理,只要作OF⊥AB,即有AB=2AF,故只要求出AF即可,由勾股定理和等量代换即可求得.

试题解析:(1)如图,连接OC,

C⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.

∵CD⊥PA∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.

∵AC平分∠PAE∴∠DAC=∠CAO.

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC="90°."

C⊙O上,OC⊙O的半径,∴CD⊙O的切线.

2)如图,过OOF⊥AB,垂足为F∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.

四边形OCDF为矩形,∴OC=FDOF=CD.

∵CD=2AD,设AD=x,则OF=CD=2x

∵⊙O的直径为10∴DF=OC=5∴AF=5-x.

Rt△AOF中,由勾股定理得.

,化简得:,解得(舍去).

∴AD="2," AF=5-2=3.

∵OF⊥AB,由垂径定理知,FAB的中点,∴AB=2AF=6.

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方法1______;方法2______

2)观察图2,请你写出下列三个代数式:(a+b2a2+b2ab之间的等量关系.______

3)类似的,请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证:

a+b)(a+2b=a2+3ab+2b2

4)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:

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