Question

10．观察下列算式：
①4²-2²=12×1      ②7²-5²=12×2
③10²-8²=12×3       ④13²-11²=12×4
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知3个等式知，等式左边是序数的3倍加1与序数的3倍减1的平方差，等式右边是序数的12倍，据此规律可写出第4个等式；
（2）根据（1）中规律，列出第n个等式即可；
（3）将（2）中等式左边按照平方差公式化简，判断与等式右边是否相等即可．

解答 解：（1）∵第①个等式是：4²-2²=12×1，即（3×1+1）²-（3×1-1）²=12×1；
第②个等式是：7²-5²=12×2，即（3×2+1）²-（3×2-1）²=12×2；
第③个等式是：10²-8²=12×3，即（3×3+1）²-（3×3-1）²=12×3；
∴第④个等式是：（3×4+1）²-（3×4-1）²=12×4，即13²-11²=12×4；
（2）根据（1）中规律，知第n个式子为：（3n+1）²-（3n-1）²=12n；
（3）一定成立，理由如下：
∵左边=[（3n+1）-（3n-1）][（3n+1）+（3n-1）]=2×6n=12n，右边=12n，
∴左边=右边，
∴（3n+1）²-（3n-1）²=12n一定成立．

点评 本题主要考查发现数字的变化规律的能力，发现等式变化前后相同部分和变化部分是根本，而发现变化部分如何变化是寻找普遍规律的关键，将规律用代数式表示出来并验证是考查整式运算的一项重要技能．