Question

6．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=2$\sqrt{5}$，AD=6，cot∠ABC=$\frac{1}{2}$，将边AB绕点A旋转，使得点B落在平行四边形ABCD的边上，其对应点为B′（点B′不与点B重合），那么sin∠CAB′=$\frac{\sqrt{10}}{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过A作AH⊥BC，连接AC，求得∠ACB的度数，然后分成B′在BC上和在AD上两种情况进行讨论．当点B′落在BC上时，过B′作BM⊥AC，求得B′M的长，利用三角函数定义求得；当B′落在AD上时，∠CAB′=∠ACB，据此即可直接求解．

解答 解：过A作AH⊥BC，连接AC．
cotB=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，则2BH=AH．
∵BH²+AH²=AB²，
∴BH=2，AH=4，
∴HC=BC-BH=6-2=4，
∴AH=HC=4，
∴∠ACB=45°，
①当点B′落在BC上时，
∵直角△ABH和直角△AB′H中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB′}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴直角△ABH≌直角△AB′H．
∴BH=B′H=2，
∴B′C=2，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+H{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
过B′作BM⊥AC，
∵∠ACB=45°，
∴△B′MC是等腰直角三角形，
∴B′M=CM=$\sqrt{2}$，
∴sin∠CAB′=$\frac{B′M}{AB′}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
②当B′落在AD上时，∠CAB′=∠ACB=45°，
则sin∠CAB′=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
总之，sin∠CAB′的值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{10}}{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质以及三角函数的定义，正确分成两种情况进行讨论是解决本题的关键．