Question

已知△ABC和△ADE中，AB=BC，AD=DE，∠ABC=∠ADE=90°，连接CE，M为中点，连接DM，BM．求证：
（1）DM=BM；
（2）BM⊥DM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）延长BM至点N，使MN=BM，连接DB，DN，NE，延长NE交AB于F，证△EMN≌△CMB，推出EN=CB，∠ENM=∠CBM，求出EN=AB，EN⊥AB，∠DEN=∠DAF，证△DAB≌△DEN，推出DN=DB，∠ADB=∠EDN，推出△BDN为等腰直角三角形，即可得出答案；
（2）根据等腰三角形的性质得出即可．

解答：（1）证明：延长BM至点N，使MN=BM，连接DB，DN，NE，延长NE交AB于F，
∵在△EMN和△CMB中

MN=MB ∠NME=∠CMB ME=MC

∴△EMN≌△CMB，
∴EN=CB，∠ENM=∠CBM，
∴EN∥CB，
∵AB=BC，AB⊥CB，
∴EN=AB，EN⊥AB，
∵∠ADE=90°，EN⊥AB，
在四边形ADEF中，∠DAF+∠DEF=180°，∠DEN+∠DEF=180°，
∴∠DEN=∠DAF，
在△DAB和△DEN中

AD=DE ∠DAB=∠DEN AB=EN

∴△DAB≌△DEN，
∴DN=DB，∠ADB=∠EDN，
∴∠BDN=∠ADE=90°，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴DM=BM；

（2）∵△BDN为等腰直角三角形，
∴DM⊥BM．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度偏大．