Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC，点D，E分别在直线AB，AC上，且∠DEC=∠DCE

（1）如图1，点D在线段AB上∠A=90°，若等腰直角三角形的边与斜边之比为，求证：

（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，∠A=60°，求证：EB=AD

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）过D点作BC的平行线交AC于点G，先证△DBE≌△CGD，再证△ADG是等腰直角三角形即可；

（2）过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F，先证△ABC和△ADF是等边三角形，再证△DBE≌△CGD即可.

证明：过D点作BC的平行线交AC于点G，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠DBE=180°-45°=135°，

∵DG∥BC，

∴∠GDC=∠DCE，∠DGC=180°-45°=135°，

∴∠DBE=∠DGC，

∵∠DCE=∠DEC，

∴ED=CD，∠DEC=∠GDC，

在△DBE和△CGD中

∴△DBE≌△CGD（AAS），

∴BE=GD，

∵∠ADG=∠ABC=45°，∠A=90°，

∴△ADG是等腰直角三角形，

∴DG=AD，

∴BE=AD；

（2）证明：过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴∠ABC=60°，

∵DF∥BC，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∴△ADF是等边三角形，

∴AD=DF，∠AFD=60°，

∵∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DBE=∠AFD，

∵∠FDC=∠DCE，∠DCE=∠DEC，

∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，

在△DBE和△CFD中

∴△DBE≌△CGD（AAS）

∴BE=DF，

∴BE=AD．