Question

10．如图，已知直线l₁∥l₂，线段AB在直线l₁上，BC垂直于l₁交l₂于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．
（1）如图1，求证：△ABP≌△CBE；
（2）如图2，连结AD、BD，BD与AP相交于点F，延长P与BC交于点H，当点P为BC中点时，求证：AP⊥BD；
（3）如图3，当$\frac{CP}{BP}$=2时，设△PAD的面积为S₁，△PCE的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出∠ABP=∠CBE，根据SAS推出即可；
（2）延长AP交CE于点H，求出AP⊥CE，证出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CE∥BD即可；
（3）分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入求出即可．

解答 （1）证明：∵BC⊥直线l₁，
∴∠ABP=∠CBE，
在△ABP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）证明：如图，连结BD，延长AP交CE于点H，

∵△ABP≌△CBE，
∴∠APB=∠CEB，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB+∠CEB=90°，
∴AH⊥CE，
∵P为BC的中点，直线l₁∥直线l₂，
∴△CPD∽△BPE，
∴$\frac{DP}{PE}$=$\frac{CP}{BP}$=1，
∴DP=PE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴CE∥BD，
∵AH⊥CE，
∴AP⊥BD；

（3）解：∵$\frac{CP}{BP}$=2，
∴CP=2BP，
∵CD∥BE，
∴△CPD∽△BPE，
∴$\frac{PD}{PE}$=$\frac{PC}{PB}$=2，
设△PBE的面积S_△PBE=S，则△PCE的面积S_△PCE满足$\frac{{S}_{△PCE}}{{S}_{△PBE}}$=2，
即S₂=2S，
∵S_△PAB=S_△BCE=2S，
∴S_△PAE=4S，
∵$\frac{{S}_{△PAD}}{{S}_{△PAE}}$=$\frac{PD}{PE}$=2，
∴S₁=2S_△PAE，即S₁=8S，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=4．

点评 此题考查相似综合题，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，三角形的面积，综合性强．