Question

2．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．

（1）如图1，若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标．
（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE．
（3）如图3，M为y轴上一点，连接CM，以CM为直角边向右作等腰Rt△CMN，其中CM=MN，连接NB，若AM=7，求五边形ACMNB的面积．

Answer 1

分析 （1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；

解答 （1）解：过点C作CF⊥y轴于点F如图1所示：
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，
∴∠ACF=∠BAO．
在△ACF和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BAC}\\{∠ACF=∠BAO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△ABO（AAS）
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C（-1，-1）；
（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，如图2所示：
∴∠ACG=∠BAC=90°，
∴∠AGC+∠GAC=90°．
∵∠CAG+∠BAO=90°，
∴∠AGC=∠BAO．
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠ADO=∠BAO，
∴∠AGC=∠ADO．
在△ACG和△ABD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠ADO}\\{∠ACG=∠BAC}\\{AC=AB}\\{\;}\end{array}\right.$
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD．
∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=GC}\\{∠DCE=∠GCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；
（3）作CP⊥y轴，NQ⊥y轴，分别交y轴于点P，点Q，如图3所示：
同（2）得：△ACP≌△BAO，△MCP≌△NMQ，
∴CP=MQ=AO，QN=PM，AP=OB，
设CP=x，则MQ=AO=x，
∴△ACM的面积=$\frac{1}{2}$×AM×CP=$\frac{7x}{2}$，
∴△AOB的面积+△MQN的面积=△ACP的面积+△MCP的面积=△ACM的面积=$\frac{7x}{2}$，
∵BO∥QN，OQ不平行BN，
∴四边形BOQN的面积=$\frac{1}{2}$（OB+QN）×OQ=$\frac{1}{2}$（AP+PM）×OQ=$\frac{1}{2}$×AM×OQ=$\frac{1}{2}$×7×（7-2x）=$\frac{49}{2}$-7x，
∴五边形ACMNB的面积=△ACM的面积+△AOB的面积+△MQN的面积+四边形BOQN的面积=$\frac{7x}{2}$+$\frac{7x}{2}$+$\frac{49}{2}$-7x=$\frac{49}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．