Question

12．如图（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A+∠B=∠C+∠D，利用这个结论，完成下列填空．

①如图（2），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
②如图（3），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
③如图（4），∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
④如图（5），∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°．

Answer 1

分析 作出相应的辅助线，如图所示，分别利用三角形、四边形、五边形的内角和定理，利用等量代换的方法求出所求角度数即可．

解答 解：如图所示，作出相应的辅助线，
①如图（2），由∠D+∠E+∠DOE=∠1+∠2+∠AOC°，且∠DOE=∠AOC，
∴∠D+∠E=∠1+∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAO+∠B+∠OCB+∠1+∠2=180°，即∠BA0+∠B+∠OCB+∠D+∠E=180°；
②如图（3），同理得到∠D+∠E=∠DCB+∠EBC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠ABE+∠EBC+∠ACD+∠DCB=180°，
即∠A+∠ABE+∠D+∠E+∠ACD=180°；
③如图（4），同理得到∠7+∠8=∠1+∠2，
由四边形内角和定理得到：∠3+∠7+∠8+∠6+∠5+∠4=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；
④如图（5），同理得到∠6+∠7=∠8+∠9，
由五边形内角和定理得：∠1+∠2+∠3+∠8+∠9+∠4+∠5=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°．
故答案为：①180°；②180°；③360°；④540°

点评 此题考查了三角形内角和定理，多边形内角与外角，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．