Question

5．如图，等边△ABC的边长为4cm，点D从B点出发，沿BA方向运动到点A，到点A停止运动，点E从B点出发，沿BC方向运动，点D，E的速度分别为1cm/s，2cm/s，它们同时出发且同时停止，设它们运动的时间为t秒．
（1）求证：以E为圆心，以DE为半径的圆与直线AB相切；
（2）当时间t为何值时，以E为圆心，以DE为半径的圆与直线AC相切？

Answer 1

分析 （1）过点D作DM⊥AC于点M，由△ABC为等边三角形，得出∠B=60°，可得BM=$\frac{1}{2}$t，DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，再求得BE与ME的长，则可得在△BDE中，BD²+DE²=BE²，由勾股定理的逆定理得出∠BDE=90°，即可得出AB与⊙D相切；
（2）作EF⊥AC于F，连接AE，由切线长定理可得AE平分∠BAC，然后由等边三角形的性质，求得BE的长，即可得出结果；

解答 （1）证明：过点D作DM⊥BC于点M，如图1所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BDM中，
∵BD=t，∠B=60°，
∴BM=$\frac{1}{2}$t，DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∵BE=2t，∴ME=$\frac{3}{2}$t，在Rt△DME中，DE²=DM²+ME²=3t²，在△BDE中，∵BD²=t²，BE²=4t²，DE²=3t²，∴BD²+DE²=BE²，∴∠BDE=90°，∴AB与⊙E相切；  
 （2）解：作EF⊥AC于F，连接AE，如图2所示：
∵AB、AC与⊙O相切，
∴AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵BC=4，
∴BE=2，
∴t=1；
即t=1s时，以E为圆心，以DE为半径的圆与直线AC相切．

点评 此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及逆定理、圆与圆的位置关系切线长定理等知识；此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．