Question

【题目】如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）求cos∠E的值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；

（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．

试题解析：（1）如图，

连接OD、CD．

∵BC是直径，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC．

∴D是AB的中点．

∵O为CB的中点，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切线．

（2）连BG．

∵BC是直径，

∴∠BDC=90°．

∴CD==8．

∵ABCD=2S△ABC=ACBG，

∴BG=．

∴CG=．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E=∠CBG，

∴cos∠E=cos∠CBG=．