Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，将一个直角三角形60°角的顶点与点C重合，再将三角形绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角形的一直角边与AB交于点D，在直角三角形斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接EF．

（1）求∠EAF的度数；

（2）DE与EF相等吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）DE=EF，理由见解析

【解析】

由等边三角形的性质得出，，求出，可依据SAS证明≌，得出，求出；

证出，由SAS证明≌，得出即可．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠BAC=∠B=60°，

又∵∠DCF=60°，

∴∠DCF=∠ACB，

∴∠DCF-∠ACD=∠ACB-∠ACD，

∴∠ACF＝∠BCD，

在△ACF和△BCD中，

，

∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF＝∠B＝60°，

∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°；

（2）DE＝EF，理由如下：

∵∠DCF＝60°，∠DCE＝30°，

∴∠FCE＝60°﹣30°＝30°，

∴∠DCE＝∠FCE，

在△DCE和△FCE中，

，

∴△DCE≌△FCE（SAS），

∴DE＝EF．