Question

【题目】已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程是关于x的一元二次方程．

（1）判断方程的根的情况为 （填序号）；

①方程有两个相等的实数根；　　 　 ②方程有两个不相等的实数根；

③方程无实数根；　　　　　　　　　　 　　④无法判断

（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠DAC=60°，求方程的根；

（3）若是方程的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c的值．

Answer 1

【答案】（1）②；（2），；（3）a=2，b=3，c=2

【解析】

（1）先计算判别式的值得到△=b2+4ac，由于a、b、c为三角形的边长，则△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；

（2）连接OA，如图，根据垂径定理，由BD⊥AC得到，弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，再利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=CB，利用圆周角定理得到∠ABD=∠DAC=60°，则可判断△OAB为等边三角形，得到AB=OB=2，AE=OB=，所以AC=2AE=2，即a=2，b=2，c-2，然后利用求根公式法解方程2x2+2x-2=0；

（3）根据一元二次方程根的定义，把代入ax2+bx-c=0后变形得到，易得b＜4，利用a、b、c的长均为整数得到b=1，2，3，然后分类讨论：当b=1时，ac=12，；当b=2时，ac=8；当b=3时，ac=4，再利用整数的整除性求出a、c的值，然后利用三角形三边的关系确定满足条件的a、b、c的值．

（1）△=b2－4a（－c）=b+4ac，

∵a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，即a、b、c都是正数，

∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

故选②；

（2）连接OA，如图，

∵BD⊥AC，

∴弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，

∴AB=CB，∠ABD=∠DAC=60°，

∴△OAB为等边三角形，

∴AB=OB=2，

∴AE=OB=

∴AC=2AE=，

即a=2，b=，c=2，

方程变形为，

整理得：，

解得，；

（3）把代入得：

整理得：，则4－b＞0，

即b＜4，

∵a、b、c的长均为整数，

∴b=1，2，3，

当b=1时，ac=12，则a=1，c=12；a=2，c=6；a=3，c=4；a=6，c=2；a=12，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；

当b=2时，ac=8，则a=1，c=8；a=2，c=4；a=4，c=2；a=8，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；

当b=3时，ac=4，则a=1，c=4；a=2，c=2；a=4，c=1，其中a=2，c=2符合三角形三边的关系，

∴a=2，b=3，c=2．