Question

【题目】问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：

问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.

如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，

显然△MOP为等边三角形，

∴，OM＋OG＝OP＋PQ，

∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，

∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，

此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，

过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，

∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，

∵MQ＝MG＝4，

∴AQ＝AM＝MQcos45°=4，

∴NQ＝，

故答案为：.