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【题目】如图,ABC中,ABAC,以AB为直径的⊙OBC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点DDFAC于点F

1)证明:DF是⊙O的切线;

2)若AC3AEFC6,求AF的长.

【答案】1)见解析;(2AF3

【解析】

1)连接OD,根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得ODDF,从而证得DF是⊙O的切线;

2)根据圆周角定理、勾股定理得出BE=2AECE=4AE,然后根据勾股定理求得BE=2AE,再根据相似三角形的判定与性质,即可得到答案.

1)证明:如图1,连接OD

OBOD

∴∠B=∠ODB

ABAC

∴∠B=∠C

∴∠ODB=∠C

ODAC

DFAC

ODDF

DF是⊙O的切线;

2)解:如图2,连接BEAD

AB是直径,

∴∠AEB90°

ABACAC3AE

AB3AECE4AE

∵∠DFC=∠AEB90°

DFBE

∴△DFC∽△BEC

CF6

DF3

AB是直径,

ADBC

DFAC

∴∠DFC=∠ADC90°,∠DAF=∠FDC

∴△ADF∽△DCF

DF2AFFC

AF3

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