【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)证明:DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,FC=6,求AF的长.
【答案】(1)见解析;(2)AF=3.
【解析】
(1)连接OD,根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF,从而证得DF是⊙O的切线;
(2)根据圆周角定理、勾股定理得出BE=2AE,CE=4AE,然后根据勾股定理求得BE=2AE,再根据相似三角形的判定与性质,即可得到答案.
(1)证明:如图1,连接OD,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:如图2,连接BE,AD,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,AC=3AE,
∴AB=3AE,CE=4AE,
∴,
∴,
∵∠DFC=∠AEB=90°,
∴DF∥BE,
∴△DFC∽△BEC,
∴ ,
∵CF=6,
∴DF=3,
∵AB是直径,
∴AD⊥BC,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=∠ADC=90°,∠DAF=∠FDC,
∴△ADF∽△DCF,
∴,
∴DF2=AFFC,
∴,
∴AF=3.
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【题目】如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;
(2)B点的对应点B′的坐标是 ;C点的对应点C′的坐标是 ;
(3)在BC上有一点P(x,y),按(1)的方式得到的对应点P′的坐标是 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上,顶点B在x轴正半轴上.若抛物线p=ax2-10ax+8(a>0)经过点C、D,则点B的坐标为________.
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【题目】如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.
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【题目】问题背景:如图,将绕点逆时针旋转60°得到,与交于点,可推出结论:
问题解决:如图,在中,,,.点是内一点,则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,PQ切⊙O于E,AC⊥PQ于C,交⊙O于D.
(1)求证:AE平分∠BAC;
(2)若AD=2,EC= ,∠BAC=60°,求⊙O的半径.
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【题目】如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)若∠E+∠F=α,求∠A的度数(用含α的式子表示);
(2)若∠E+∠F=60°,求∠A的度数.
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【题目】点I为△ABC的内心,连AI交△ABC的外接圆于点D,若AI=2CD,点E为弦AC的中点,连接EI,IC,若IC=6,ID=5,则IE的长为_____.
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