【题目】如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)若∠E+∠F=α,求∠A的度数(用含α的式子表示);
(2)若∠E+∠F=60°,求∠A的度数.
【答案】(1)∠A=90°﹣α;(2)∠A=60°.
【解析】
(1)根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF,再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E,由三角形内角和定理得∠EBF=180°-∠BCF-∠F,所以∠A+∠E=180-∠A-∠F,然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°-α;
(2)利用(1)中的结论进行计算.
(1)∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠A=∠BCF,
∵∠EBF=∠A+∠E,
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F,
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F,
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F,
即2∠A=180°﹣(∠E+∠F),
∵∠E+∠F=α,
∴∠A=90°﹣α;
(2)当α=60°时,∠A=90°﹣×60°=60°.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式;
(3)在题(2)的条件下,是否存在某一时刻,使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3:4?如果存在,请求出t的取值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)证明:DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,FC=6,求AF的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是弧AE的中点,过点C作GC∥AE交BA的延长线于点G,过点C作CD⊥AB于点D,交AE于点F.
(1)判断GC与⊙O的位置关系,并证明.
(2)若sin∠EAB =,OD=,求AE的长.
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【题目】春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
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【题目】如图,将ΔABC沿BC翻折得到ΔDBC,再将ΔDBC绕C点逆时针旋转60°得到ΔFEC,延长B D交EF于H,已知∠ABC=30°,∠BAC=90°,AC=1,则四边形CDHF的面积为( )
A. B. C. D. .
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【题目】如图,抛物线y=与x轴、y轴交于A、B两点,将△OAB绕点B逆时针旋转90°后得到△O′A′B,点O落到点O′的位置,点A落到点A′的位置.
(1)求点O′和点A′的坐标;
(2)将抛物线沿y轴方向平移后经过点A′,求平移后所得抛物线对应的函数关系式;
(3)设(2)中平移后所得抛物线与y轴的交点为C,与x轴的交点为D,点M在x轴上,点N在平移后所得抛物线上,求出以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形时点N的坐标.
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【题目】如图,MN是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,点B是劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点.若MN=2,AB=1,则△PAB周长的最小值是( )
A. 2+1 B. +1 C. 2 D. 3
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