【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1=k1x+b与反比例函数的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知点A的坐标是(6,2)点B的纵坐标是﹣3.
(1)求反比例函数和直线l1的表达式;
(2)根据图象直接写出k1x+b>的解集;
(3)将直线l1:沿y轴向上平移后的直线l2与反比例函数在第一象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
【答案】(1)y=,y=x﹣1;(2)﹣4<x<0或x>6;(3)y=x+5.
【解析】
(1)将点A(6,2)代入,求出k2=12,得到反比例函数的表达式;将y=3代入,求出x,得到B点坐标,再将A,B两点的坐标代入l1=k1x+b,利用待定系数法求出直线l1的表达式;
(2)找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量x的取值范围即可;
(3)设直线l1与x轴交于点E,平移后的直线l2与x轴交于点D,连接AD,BD,依据CD∥AB,即可得出△ABC的面积与△ABD的面积相等,求得D(10,0),即可得出平移后的直线l2的函数表达式.
(1)∵反比例函数的图象过点A(6,2),
∴k2=6×2=12,
∴反比例函数的表达式为y=,
∵反比例函数y=的图象过点B,B的纵坐标是﹣3,
∴y=﹣3时,x=﹣4,
∴B(﹣4,﹣3).
∵直线l1=k1x+b过A,B两点,
∴,解得,
∴直线l1的表达式为y=x﹣1;
(2)根据图象,可知当﹣4<x<0或x>6时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,
所以k1x+b>的解集为﹣4<x<0或x>6;
(3)如图,设直线l1与x轴交于点E,平移后的直线l2与x轴交于点D,连接AD,BD,
∵CD∥AB,
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等,
∵△ABC的面积为30,
∴S△ADE+S△BDE=30,即DE(|yA|+|yB|)=30,
∴×DE×5=30,
∴OD=12,
∵E(2,0),
∴D(﹣10,0),
设平移后的直线l2的函数表达式为y=x+n,
把D(﹣10,0)代入,可得0=×(﹣10)+n,
解得n=5,
∴平移后的直线l2的函数表达式为y=x+5.
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是 .
(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;(5)OGBD=AE2+CF2.
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【题目】如图1,在锐角△ABC中,AB=5,tanC=3,BD⊥AC于点D,BD=3,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动,过点P作PE∥AC交边BC于点E,以PE为边作Rt△PEF,使∠EPF=90°,点F在点P的下方,且EF∥AB.设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S(平方单位)(S>0),点P的运动时间为t(秒)(t>0).
(1)直接写出线段AC的长为 .
(2)当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
(3)若边EF所在直线与边AC交于点Q,连结PQ,如图2,
①当PQ将△PEF的面积分成1:2两部分时,求AP的长.
②直接写出△ABC的某一顶点到P、Q两点距离相等时t的值.
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【题目】问题背景:如图,将绕点逆时针旋转60°得到,与交于点,可推出结论:
问题解决:如图,在中,,,.点是内一点,则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
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【题目】如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=ABAC④OE=AD⑤S△APO=,正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0)和B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点,分别连接AC、CD、AD.
(1)求抛物线的函数表达式以及顶点D的坐标;
(2)在抛物线上取一点P(不与点C重合),并分别连接PA、PD,当△PAD的面积与△ACD的面积相等时,求点P的坐标;
(3)将(1)中所求得的抛物线沿A、D所在的直线平移,平移后点A的对应点为A′,点C的对应点为C′,点D的对应点为D′,当四边形AA′C′C是菱形时,求此时平移后的抛物线的解析式.
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【题目】如图,二次函数的图象与轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:①;②;③;④方程有两个相等的实数根,其中正确的结论是________.(只填序号即可).
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