Question

13．在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC所在直线上一点，连结AD，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，线段CF、BD所在直线的关系为CF⊥BD；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 
（3）在（2）的条件下，若AC=$\sqrt{2}$m，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，当线段CP长的最大时，求CD的值．

Answer 1

分析 （1）①证明△ABD≌△ACF，即可证明∠ACF=∠B，从而证得CF⊥BD；
②与①相同，证明△DAB≌△FAC，证明∠ACF=∠B，从而证得CF⊥BD；
（2）过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，（1）①可知CF⊥BD；
（3）作AG⊥BC于G，证明△ADQ∽△DPC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．

解答 解：（1）①垂直．
理由是：∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠B，
又∵在直角△ABC中，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，即∠BCF=90°，
∴CF⊥BC．
故答案是：CF⊥BC；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
证明：如图，由正方形ADEF得：

AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即 CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图3）．

理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，
则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，
∠AGC=90°-∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠AGC，
∴AC=AG，
∵点D在线段BC上，
∴点D在线段GC上，由（1）①可知CF⊥BD．
（3）如图4：作AG⊥BC于G．

∵∠ACB=45° AC=$\sqrt{2}$m
∴CQ=AQ=m，
∵∠PCD=∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
∴△ADQ∽△DPC，
∴$\frac{PC}{DG}=\frac{CD}{AG}$
设CD为x则DG=CG-CD=m-x  则$\frac{PC}{m-x}=\frac{x}{m}$
∴PC=$\frac{1}{m}（-{x^2}+mx）=-\frac{1}{m}{（x-\frac{m}{2}）^2}+\frac{m}{4}$
∴当x=$\frac{m}{2}$时，PC最长，此时PC=$\frac{m}{4}$，
即PC最长时，CD的长为$\frac{m}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，理解每个小题之间的联系是关键．