Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点为A′．
（1）当点A′恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；
（2）如图2，当点P在AB边上，点A′在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使得△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（3）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有几个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）．根据矩形的性质，点的坐标与图形的性质以及勾股定理求得CA′=4，然后结合A（5，0）求得AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5），从而求得k的值；
（2）根据全等三角形的对应边相等和对应角相等、勾股定理以及正切函数的定义来求k的值；
（3）根据题意，画出图形，根据图形回答问题．

解答 解：（1）如图1，∵点A与A′关于OP成轴对称，
∴OP垂直平分A A′，
∴O A′=OA=5，P A′=PA，
在Rt△A′CO中，
A′C²=25-9=16，
∴A′C=4，
设PA=x，则P A′=x，
在Rt△A′BP中，A′P²=PB²+A′B²，即x²=（3-x）²+1，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
把P（5，$\frac{5}{3}$）代入y=kx得：k=$\frac{1}{3}$；

（2）存在实数k使得△A′EF≌△BPF，
如图2，若△A′EF≌△BPF，则有AE′=BP，AF′=BF，EF=PF，
设PA=x，则有EB=A′P=x，A′E=BP=3-x，
∴OE=5-（3-x）=2+x，CE=5-x，
在Rt△ECO中，根据勾股定理得：OE²=CE²+OC²，即（2+x）²=（5-x）²+9，
解得：x=$\frac{15}{7}$，
把P（5，$\frac{15}{7}$）代入y=kx得：k=$\frac{3}{7}$；

（3）如图3，当0＜k＜$\frac{11}{60}$时，有4个共同点，
k=$\frac{11}{60}$或$\frac{60}{91}$时，有5个共同点，
k=$\frac{3}{5}$时，有4个共同点，
故最多有6个交点，k的取值范围是：$\frac{11}{60}$＜k＜$\frac{60}{91}$且k≠$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了二次函数综合题以及全等三角形的性质和圆的综合等知识，利用特殊位置求出k的取值范围进而得出答案．