Question

【题目】如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=

（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|x﹣15|+ =0，

∴x=15，y=13，

∴OA=BC=15，AB=OC=13，

∴B（15，13）

（2）解：如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，

由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，

∵tan∠CBD= ，

∴ = ，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，

∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，

∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，

∴∠ONM=∠CBD，

∴ = ，

∵DE∥ON，

∴ = = ，且OE=3，

∴ = ，解得OM=6，

∴ON=8，即N（0，8），

把N、B的坐标代入y=kx+b可得 ，解得 ，

∴直线BN的解析式为y= x+8

（3）解：设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，

当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，

由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，

∴S=NN′OA=15t；

当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，

∵NN′=t，

∴可设直线B′N′解析式为y= x+8﹣t，

令y=0，可得x=3t﹣24，

∴OG=24，

∵ON=8，NN′=t，

∴ON′=t﹣8，

∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ （t﹣8）（3t﹣24）=﹣ t2+39t﹣96；

综上可知S与t的函数关系式为S=

【解析】（1）由两个非负数的和为0，每个非负数均为0可得x=15，y=13，即B（15，13）；（2）要利用三角函数tan∠CBD= ，就须过D作垂线，把∠CBD放在直角三角形中，再由平行线分线段成比例列出方程，求出OM=6，利用待定系数法求出直线BN的解析式；（3）须动手操作平移BN，可发现扫过的图形分为平行四边形和五边形两种，当NN′B′为平行四边形时面积利用底高；当扫过面积为五边形时，用作差法S四边形BNN′B′﹣S△OGN′，用t 的代数式表示两部分面积即可.
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数关系式(用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式)．