Question

如图，P是⊙O外一点，PA、PC分别与⊙O相交于点A、B和C、D，OF⊥AB，OE⊥CD，已知∠BPO=∠DPO，求证：

AB

=

CD

．

Answer 1

考点：垂径定理,全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：连结OA、OC，如图，根据角平分线定理得到OE=OF，再证明Rt△AOF≌Rt△COE得到AF=CE，然后由垂径定理推知AB=CD，则由圆心角、弧、弦的关系证得结论．

解答：证明：连结OA、OB，如图，
∵∠BPO=∠DPO，即PO平分∠APC，OF⊥AB，OE⊥CD，
∴OF=OE，AF=

1

2

AB，CE=

1

2

CD，
在Rt△AOF和Rt△COE中，

OF=OE OA=OC

，
∴Rt△AOF≌Rt△COE，
∴AF=CE，
∴AB=CD，
∴

AB

=

CD

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线定理和直角三角形全等的判定方法．