Question

【题目】如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）连接PB，PC，PO，若S△POC＝S△PBC，求点P的坐标；

（3）如图2．连接AP，交直线BC于点D，当点D是线段BC的三等分点时，求tan∠ADC的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（1，2）；（3）．

【解析】

（1）将A（﹣2，0），B（3，0）代入函数表达式，即可求解；

（2）S△PBC＝S△PQC+S△PQB，S△POC＝，而S△POC＝S△PBC，则，即可求解；

（3）证明△EAF∽△ADG、△DBG∽△CBO，再分、两种情况，分别求解即可．

（1）将A（﹣2，0），B（3，0）代入函数表达式，得，解得，

∴所求二次函数的表达式为；

（2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，

将x＝0代入中，得y＝2．

∴C（0，2）．

设直线BC对对应的函数表达式为y＝kx+c，

将B（3，0），C（0，2）代入表达式中，

得，解得，

∴．

设P（x，），Q（x，），

∴PQ＝yP﹣yQ＝﹣（）＝．

∴S△PBC＝S△PQC+S△PQB＝＝＝，

而S△POC＝＝．

∵S△POC＝S△PBC，

∴．

∴x1＝0（舍去），x2＝1．

∴P（1，2）；

（3）过点A作AE⊥AP交直线BC于点E，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，

∴∠EFA＝∠EAD＝∠AGD＝90°．

∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠DAG+∠EAF＝90°．

∴∠FEA＝∠DAG．

∴△EAF∽△ADG．

∴．

∵∠COB＝∠DGB＝90°，∠CBO＝∠CBO，

∴△DBG∽△CBO．

∴．

设E（x，），则AF＝﹣2﹣x，EF＝．

∵点D是线段BC的三等分点，

∴或．

当时，点D（2，）．

∴AG＝4，DG＝．

∴．

∴．

∴．

当时，点D（1，）．

∴AG＝3，DG＝．

∴．

∴．

∴tan∠ADC＝＝．