Question

6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（1，0），反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，使得点B恰好落在x轴的正半轴上，此时边BC交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{1}{3}\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{1}{2}\sqrt{3}+1$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出OD的长，再过点C作CF⊥y轴于点F，根据ASA定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C点坐标，求出k的值，再求出OH的长，进而可得出E点坐标．

解答 解：∵Rt△AOD中，OA=1，AD=2，
∴OD=$\sqrt{{AD}^{2}-{OA}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
过点C作CF⊥y轴于点F，
∵∠CDF+∠ADO=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠ADO，
同理，∠CDF=∠DAO，
在△CDF与△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DCF=∠ADO\\ CD=AD\\∠CDF=∠DAO\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△DAO（ASA），
∴CF=OD=$\sqrt{3}$，DF=OA=1，
∴C（$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象经过点C，
∴k=$\sqrt{3}$×（1+$\sqrt{3}$）=3+$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3+\sqrt{3}}{x}$．
∵OH=OA+AH=1+2=3，
∴点E的横坐标为3，
∴y=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选B．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．