Question

【题目】如图1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC内部作∠MAN=45°．AM、AN分别交BC于点M，N．
（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图1中画出△ACQ；（不写出画法）

（2）在（1）中作图的基础上，连接NQ，
①求证“MN=NQ”；
②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由．
（3）线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是
（4）设DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，△ACQ即为所求

（2）

解：①证明：由旋转可得，△ABM≌△ACQ

∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ

∵∠MAN=45°，∠BAC=90°

∴∠BAM+∠NAC=45°

∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°

在△MAN和△QAN中

∴△MAN≌△QAN（SAS）

∴MN=NQ

②MN2=BM2+NC2

由①中可知，MN=NQ，MB=CQ

又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°

在Rt△NCQ中，NQ2=CQ2+NC2，即MN2=BM2+NC2

（3）ST2=GS2+TH2
（4）

解：如图，∵DE=DF，DG=DP，∠EDF=∠GDP=45°

∴∠DPK=∠DEP

又∵∠PDK=∠EDP

∴△DPK∽△DEP

∴ ，即DP2=DKDE

∵DK=a，DE=b

∴DP=

【解析】（1）根据旋转中心、旋转方向和旋转角度进行作图即可；（2）先根据SAS判定△MAN≌△QAN，进而得出结论，再由全等三角形和旋转，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根据Rt△NCQ中的勾股定理得出结论；（3）运用②中的方法即可得出类似的加仑；（4）先判定△DPK∽△DEP，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式进行求解．
【考点精析】通过灵活运用旋转的性质，掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．