Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A，B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4

（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4），

∴ ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+4．

∵点M的横坐标为m，点M在AC上，

∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣ x2+ x+4上，

∴点P的坐标为（m，﹣ m2+ m+4），

∴PM=PE﹣ME=（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）=﹣ m2+4m，

即PM=﹣ m2+4m（0＜m＜3）

（3）解：在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：

由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣ m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，P点在F上，PF=﹣ m2+ m+4﹣4=﹣ m2+ m．情况：

①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，

即（﹣ m2+ m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m= ．

∵△PFC∽△AEM，

∴∠PCF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，

∴∠PCF=∠CMF．

在直角△CMF中，

∵∠CMF+∠MCF=90°，

∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，

∴△PCM为直角三角形；

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，

即m：（3﹣m）=（﹣ m2+ m）：（﹣ m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

∵△CFP∽△AEM，

∴∠CPF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，

∴∠CPF=∠CMF．

∴CP=CM，

∴△PCM为等腰三角形．

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为 或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．

【解析】（1）把AC两点坐标代入解析式即可；（2）竖直线段的长等于上纵减下纵，用m的代数式表示P、M的纵坐标，二者相减即可；（3）两三角形的相似须分类讨论：△PFC∽△AEM或△CFP∽△AEM；由边方面的关系相等或角之间的关系可判定△PCM为直角三角形或等腰三角形.