Question

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，已知A（-1，0）、D（2，3），并且二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、C、D三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y=kx+d经过B、C两点，试判断直线BC是否经过抛物线的顶点M，说明理由；并结合函数的图象探索：当二次函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数与不等式（组）,待定系数法求二次函数解析式,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形对边平行可得CD∥AB，然后求出抛物线的对称轴为直线x=1，再设抛物线解析式为y=a（x-1）²+k，然后将点A、D的坐标代入求解即可；
（2）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后求出点M的坐标并代入直线解析式验证即可；根据函数图象写出二次函数图象在直线上方部分的x的取值范围即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵D（2，3），
∴抛物线对称轴为直线x=1，
设抛物线解析式为y=a（x-1）²+k，
将点A（-1，0）、D（2，3）代入得，

4a+k=0 a+k=3

，
解得

a=-1 k=4

，
所以，抛物线解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
∵A（-1，0），
∴点B的坐标为（-3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+d，
则

-3k+d=0 d=3

，
解得，

k=1 d=3

，
所以，y=x+3，
∵抛物线解析式为y=-（x-1）²+4的顶点坐标M（1，4），
∴当x=1时，y=1+3=4，
∴点M在直线BC上；
二次函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围是0＜x＜1．

点评：本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，抛物线解析式利用顶点式形式求解更简便．