Question

（1）如图1，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=

1

2

AE，并说明理由；
（2）如图2，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求

1

2

AM+MC的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求，根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，根据30°角的直角三角形的性质得出EF=

1

2

AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时

1

2

AM+MC最小，进而求得即可．

解答：解：（1）如图1，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求．

理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD=30°，
∵EF⊥AB，
∴EF=

1

2

AE；
                                
（2）如图2，作CN⊥AB，垂足为点N，交AD于点M，此时

1

2

AM+MC最小，最小为CN的长．

∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BC•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∴MN+CM=

1

2

AM+MC=

3

，
即

1

2

AM+MC的最小值为

3

．

点评：此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．