Question

6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径作⊙O，已知tan∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=2．
（1）在图①中，当⊙O与AD、AC分别交于点E、F，∠ACB=∠DCE时，求证：CE为⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，求弦EF的长；直接写出点C与圆上各点线段之间的最长距离和最短距离；
（3）在图②中，当⊙O与BC相切于点H时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；
（2）根据等角的函数值相等，可得DE的长，根据线段的和差，可得AE的长，根据相似三角形的判定与性质，可得EF的长，AF的长，根据线段的和差，可得CF的长；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得关于r的方程，根据解方程，可得答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OE．
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB．
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC．
又∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，）
∵OE为圆O半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）如图2连接EF，
，
由tan∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=2，得
AB=$\sqrt{3}$．
由矩形的性质，得
DC=AB=$\sqrt{3}$，∠B=90°，
由勾股定理，得
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
由∠ACB=∠DCE，得
tan∠DCE=$\frac{DE}{DC}$=tan∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DC=$\frac{3}{2}$，
由线段的和差，得
AE=AD-DE=$\frac{1}{2}$．
由AF是⊙O的直径，得
∠AEF=90°，
EF∥DC，得
△AEF∽△ADC，
$\frac{EF}{DC}$=$\frac{AE}{AD}$，$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AF}{AC}$，
EF=$\frac{AE}{AD}$•DC=$\sqrt{3}$×$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
AF=AC•$\frac{AE}{AD}$=$\sqrt{7}$×$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，CF=AC-AF=$\sqrt{7}$-$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$
C与圆上各点线段之间的最长距离是AC=$\sqrt{7}$，
C与圆上各点线段之间的最短距离是CF=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$；
（3）如图3：

连接OH，设半径为r，
∵OH∥AB，
∴△OCH∽△OCB，$\frac{OH}{AB}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{r}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{7}-r}{\sqrt{7}}$，
化简，得
（$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$）r=$\sqrt{21}$，
解得r=$\frac{7\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查了圆的综合题，（1）利用了矩形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，切线的判定，利用余角的性质得出∠DEC+∠OEA=90°是解题关键；（2）利用了锐角三角函数，相似三角形的判定与性质；（3）利用相似三角形的性质得出关于r的方程是解题关键．