Question

16．如图所示，以?ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：$\widehat{GE}=\widehat{EF}$；
（2）若$\widehat{BF}$的度数为70°，求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）要证明$\widehat{GE}$=$\widehat{EF}$，则要证明∠DAF=∠GAD，由题干条件能够证明之；
（2）根据$\widehat{BF}$的度数为70°，得到∠BAF=70°，于是得到∠B=∠AFB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAF）=55°，根据平行四边形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AF．
∵A为圆心，∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，
∴∠DAF=∠GAD，
∴$\widehat{GE}$=$\widehat{EF}$；

（2）解：∵$\widehat{BF}$的度数为70°，
∴∠BAF=70°，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAF）=55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C=180°-∠B=125°．

点评 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出∠DAF=∠GAD，题目比较典型，难度不大．