Question

4．已知如图，Rt△AOB在直角坐标系中，∠BAO=30°，B点的坐标为（2，0），点P是斜边AB的中点，双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象过点P．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）在直线AB上是否存在另一点Q在双曲线上？为什么？
（3）P₁在双曲线y=$\frac{k}{x}$第一象限的图象上，B₁在x轴上，若△POB∽△P₁BB₁，求B₁点的坐标．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形AOB中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）不存在，理由为：设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，与反比例解析式联立消去y，判断其方程根的判别式等于0，即两函数图象只有一个交点，则在直线AB上不存在另一点Q在双曲线上；
（3）由△POB∽△P₁BB₁，且△POB为等边三角形，可得△P₁BB₁为等边三角形，设BB₁=2a，表示出B₁的坐标，进而确定出C坐标，表示出P₁坐标，代入反比例解析式求出a的值，即可确定出B₁坐标．

解答 解：（1）∵在Rt△AOB中，∠BAO=30°，B点的坐标为（2，0），即OB=2，
∴AB=2OB=4，
根据勾股定理得：OA=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即A（0，2$\sqrt{3}$），
∴斜边AB的中点P（1，$\sqrt{3}$），
把P坐标代入反比例解析式得：k=$\sqrt{3}$，
则反比例解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）不存在，理由为：
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴直线AB解析式为y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$，
消去y，整理得：x²-2x+1=0，
∵△=4-4=0，
∴直线AB与反比例图象交于一个点，
则在直线AB上不存在另一点Q在双曲线上；
（3）如图所示，过P₁作P₁C⊥x轴，

∵△POB∽△P₁BB₁，且△POB为等边三角形，
∴△P₁BB₁为等边三角形，
设BB₁=2a，则有B₁（2+2a，0），线段BB₁的中点C（2+a，0），
在Rt△BCP₁中，BC=a，BP₁=2a，
根据勾股定理得：P₁C=$\sqrt{3}$a，
∴P₁（2+a，$\sqrt{3}$a），
代入反比例解析式得：$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2+a}$，
解得：a₁=-1-$\sqrt{2}$（舍去），a₂=-1+$\sqrt{2}$，
则B₁（2$\sqrt{2}$，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．