【题目】如图,半径为4的⊙O中,CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
连接AC,AO,由AB⊥CD,利用垂径定理得到G为AB的中点,由中点的定义确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AO与OG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而确定出AB的长,由CO+GO求出CG的长,在直角三角形AGC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长,即可求出点F所经过的路径长.
解:
连接AC,AO,
∵AB⊥CD,
∴G为AB的中点,即AG=BG=AB,
∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,
∴OG=2,
∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:AG==2,
∴AB=2AG=4,
又∵CG=CO+GO=4+2=6,
∴在Rt△AGC中,根据勾股定理得:AC==4,
∵CF⊥AE,
∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,
当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,
在Rt△ACG中,tan∠ACG==,
∴∠ACG=30°,
∴所对圆心角的度数为60°,
∵直径AC=4,
∴的长为=π,
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为π.
故选:C.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(﹣2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:B′_______、C′_______;
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为________;
运用与拓展:
(3)图中在直线l上取一点Q,使Q到D(1,-3),E(-1,-4)两点的距离之和最小,则点Q的坐标是____________。
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【题目】下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
= y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2 (第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
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【题目】如图,点A是直线y=2x与反比例函数y=(m为常数)的图象的交点.过点A作x轴的垂线,垂足为B,且OB=2.
(1)求点A的坐标及m的值;
(2)已知点P(0,n)(0<n≤8),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=2x于点C(x1,y1),交反比例函数y=(m为常数)的图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3),若x2<x3<x1,结合函数的图象,直接写出x1+x2+x3的取值范围.
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【题目】动手操作:
如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.
问题解决:
(1)若∠ACD=78°,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证:△CAN≌△CMN.
实验探究:
(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.
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【题目】已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:AE=CG;
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.
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【题目】如图,点A、B分别是x轴、y轴上的点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M坐标为(1,1)
(1)如图1中的第一象限内,若a=2,b=1,画出线段AB关于点M(1,1)的中心对称线段CD,并写出C、D两点的坐标;
(2)如图,若AB关于M(1,1)中心对称的线段为CD,点C、点D在双曲线y=(x>0)上,且AB=,求k的值;
(3)若a=,b=,直接写出直线CD的解析式.
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【题目】如图:中,.
求作边上的垂直平分线,使得交于;将线段沿着的方向平移到线段(其中点平移到点,画出平移后的线段;(要求用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
连接、,试判断四边形是矩形吗?说明理由.
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【题目】已知点与关于坐标原点对称,那么点绕原点顺时针旋转后的对应点的坐标是( )
A. (-1,2) B. (1,-2) C. (-1,-2) D. (1,2)
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