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【题目】如图,半径为4的⊙O中,CD为直径,弦ABCD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CFAE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为(  )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

连接AC,AO,由AB⊥CD,利用垂径定理得到GAB的中点,由中点的定义确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AOOG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而确定出AB的长,由CO+GO求出CG的长,在直角三角形AGC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CG⊥AE,此时FG重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时FA重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长,即可求出点F所经过的路径长.

解:

连接AC,AO,

∵AB⊥CD,

∴GAB的中点,即AG=BG=AB,

∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,

∴OG=2,

∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:AG==2

∴AB=2AG=4

又∵CG=CO+GO=4+2=6,

∴在Rt△AGC中,根据勾股定理得:AC==4

∵CF⊥AE,

∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,

E位于点B时,CG⊥AE,此时FG重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时FA重合,

∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长

Rt△ACG中,tan∠ACG==

∴∠ACG=30°,

所对圆心角的度数为60°,

∵直径AC=4

的长为=π,

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为π.

故选:C.

练习册系列答案
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.

实验与探究:

1)由图观察易知A02)关于直线l的对称点A′的坐标为(20),请在图中分别标明B53)、C(﹣25)关于直线l的对称点B′C′的位置,并写出他们的坐标:B′_______C′_______

归纳与发现:

2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点Pab)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为________

运用与拓展:

3)图中在直线l上取一点Q,使QD1-3),E-1-4)两点的距离之和最小,则点Q的坐标是____________

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【题目】下面是某同学对多项式(x24x+2)(x24x+6+4进行因式分解的过程.

解:设x24x=y

原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

= y2+8y+16 (第二步)

=y+42 (第三步)

=x24x+42 (第四步)

回答下列问题:

1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______

A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式

2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”)

若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________

3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x22x)(x22x+2+1进行因式分解.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,点A是直线y=2x与反比例函数y=(m为常数)的图象的交点.过点Ax轴的垂线,垂足为B,且OB=2.

(1)求点A的坐标及m的值;

(2)已知点P(0,n)(0<n≤8),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=2x于点C(x1,y1),交反比例函数y=(m为常数)的图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3),若x2<x3<x1,结合函数的图象,直接写出x1+x2+x3的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】动手操作:
如图,已知ABCD,A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,ACE,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.
问题解决:

(1)若∠ACD=78°,求∠MAB的度数;
(2)CNAM,垂足为点N,求证:CAN≌△CMN.
实验探究:
(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.

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【题目】已知:在△ABC中,AC=BC∠ACB=90°,点DAB的中点,点EAB边上一点.

1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:AE=CG

2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.

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【题目】如图,点A、B分别是x轴、y轴上的点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M坐标为(1,1)

(1)如图1中的第一象限内,若a=2,b=1,画出线段AB关于点M(1,1)的中心对称线段CD,并写出C、D两点的坐标;

(2)如图,若AB关于M(1,1)中心对称的线段为CD,点C、点D在双曲线y=(x>0)上,且AB=,求k的值;

(3)若a=,b=,直接写出直线CD的解析式.

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【题目】如图:中,

求作边上的垂直平分线,使得;将线段沿着的方向平移到线段(其中点平移到点,画出平移后的线段;(要求用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)

连接,试判断四边形是矩形吗?说明理由.

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