Question

10．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠EAG=∠BAD，连接EC，CD．
（1）求证：△AEB≌△AGD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=$\sqrt{3}$，求GD的长．

Answer 1

分析 （1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=$\frac{1}{2}$AB=1，然后求得EP=2 $\sqrt{3}$，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可；

解答 （1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=$\frac{1}{2}$AB=1，
AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{3}$，AE=AG=$\sqrt{3}$，
∴EP=2 $\sqrt{3}$，
∴EB=$\sqrt{E{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴GD=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形并且进行证明，属于中考常考题型．