Question

【题目】探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且．

（1）如果将绕点顺时针方向旋转．请你画出图形（旋转后的辅助线）．你能够得出关于，，的一个结论是________．

（2）如果点，分别运动到，的延长线上，如图，请你能够得出关于，，的一个结论是________．

（3）变式：如图，将题目改为“在四边形中，，且，点，分别为边，上的动点，且”，请你猜想关于，，有什么关系？并验证你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF，画图如图所示；（2）BE= DF+EF；（3）EF=BE+DF，理由见解析

【解析】

（1）画出图形，证明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，根据EF′=BE+BF′=BE+DF得到结果；

（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，证明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，从而可说明BE= DF+EF；

（3）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，证明∠ABF′+∠ABE=180°，说明F′、B、E三点共线，再证明△AEF≌△AEF′，得出EF=EF′，从而可说明EF=BE+DF.

解：（1）画图如图所示，旋转后点F的对应点为F′，AD与AB重合，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF′=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEF′中，

,

∴△AEF≌△AEF′（SAS），

∴EF=EF′，

又∵EF′=BE+BF′=BE+DF，

∴EF=BE+DF，

故答案为：EF=BE+DF；

（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，旋转后点F的对应点为F′，AD与AB重合，

∵∠EAF=45°，

∴∠F′AE=45°，AF=AF′，

在△AEF和△AEF′中，

，

∴△AEF≌△AEF′（SAS），

∴EF=EF′，

而DF=BF′，

∴BE=BF′+EF′=DF+EF，

故答案为：BE= DF+EF；

（3）EF=BE+DF，

理由是：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，

则△ADF≌△ABF′，

∴∠BAF′=∠DAF，AF=AF′，BF′=DF，∠ABF′=∠D，

又∵∠EAF=∠BAD，

∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，

∴∠EAF=∠EAF′，

又∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABF′+∠ABE=180°，

∴F′、B、E三点共线，

在△AEF和△AEF′中，

，

∴△AEF≌△AEF′（SAS），

∴EF=EF′，

又∵EF′=BE+BF′=BE+DF，

∴EF=BE+DF.