Question

如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．
（1）试探索∠DEF与∠B、∠C的等量关系；
（2）如图所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在（1）中探索得到的结论是否成立并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）过点A作AG⊥BC于点G，则EF∥AG，故∠DEF=∠DAG，根据直角三角形的性质可知∠CAG=90°-∠C，再由三角形内角和定理可知∠BAC=180°-∠B-∠C，根据∠1=∠2可知，∠2=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），再根据∠DAG=∠2-∠CAG即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥BC于H，根据直角三角形两锐角互余表示出∠CAH，根据角平分线的定义可得∠2，再表示出∠DAH，然后根据三角形的内角和定理可得∠DEF=∠DAH．

解答：（1）解：如图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，则EF∥AG，∠DEF=∠DAG，
∵∠AGC=90°，
∴∠CAG=90°-∠C．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠2=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C）．
∵∠DAG=∠2-∠CAG=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C）
=

1

2

（∠C-∠B），即∠DEF=

1

2

（∠C-∠B）；

（2）解：如图2所示，过点A作AH⊥BC于H，
则∠CAH=90°-∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠2=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DAH=∠2-∠CAH=

1

2

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
∵EF⊥BC，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
又∵∠DAH+∠ADH=90°，∠EDF=∠ADH（对顶角相等），
∴∠DEF=∠DAH，
∴∠DEF=

1

2

（∠C-∠B）．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．