Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；
（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）分为MN在CA的左下方（0＜t＜3）和右上方（3＜t＜6）两种情况；分别把EF表示出来，把△EFG的高表示出来即可；
（2）当0＜t＜3时，把△EFG三边的平方表示出来，△EFG是直角三角形有三种可能，列出三个方程，分别解出即可，同样当3＜t＜6时，把△EFG三边的平方表示出来，△EFG是直角三角形也有三种可能，同理解出t的值；
（3）GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=

4

3

x-

7

6

，分别求出直线GG′与直线CB、BA、OA、OC的交点G′的中点在直线MN上即可得到四种情况的答案．

解答：解：（1）①当0＜t＜3时，如图1，过E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），
∴OA=4，OC=3，AC=5，
∵MN∥CA，
∴△OEF∽△OCA，
∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，
∴EF=

5

3

t，
∵EH⊥CA，
∴∠ECH=∠OCA，
∴sin∠ECH=sin∠OCA，
∴EG：EC=OA：CA，
即EH：（3-t）=4：5，
∴EH=

4

5

（3-t），
∴S=

1

2

×EF×HE=

1

2

×

5

3

t×

4

5

（3-t）=-

2

3

t²+2t；
②当3＜t＜6时，如图2，过C作CH⊥MN于H，则MC=t-3，

∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA，
∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t-3）=4：5，
∴CH=

4

5

（t-3），
易求直线AC解析式为：y=-

3

4

x+3，
∵MN∥CA，
∴直线MN的解析式为：y=-

3

4

x+t，
令y=3，可得3=-

3

4

x+t，解得x=

4

3

（t-3）=

4

3

t-4，
∴E（

4

3

t-4，3），
在y=-

3

4

x+t中，令x=4可得：y=t-3，∴F（4，t-3），
∴EF=

( 4 3 t-4-4)2+(3-t+3)2

=

5

3

（6-t），
S=

1

2

×EF×GH=

1

2

×

5

3

（t-3）=-

2

3

t²+6t-12；
综上可知S=

- 2 3 t2+2t(0＜t＜3) - 2 3 t2+6t-12(3＜t＜6)

；
（2）①当0＜t＜3时，E（0，t），F（

4

3

t，0），G（2，

3

2

），
∴EF²=

25

9

t²，EG²=2²+（t-

3

2

）²，GF²=（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²，
若EF²+EG²=GF²，则有

25

9

t²+2²+（t-

3

2

）²=（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²，解得t=0（舍去），t=-

7

3

（舍去），
若EF²+FG²=EG²，则有

25

9

t²+（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²=2²+（t-

3

2

）²，解得t=0（舍去），t=

21

32

，
若EG²+GF²=EF²，则有2²+（t-

3

2

）²+（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²=

25

9

t²，解得t=

3

2

，
②当3＜t＜6时，E（

4

3

t-4，3），F（4，t-3），G（2，

3

2

），
∴EF²=（

4

3

t-8）²+（t-6）²，EG²=（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²，GF²=2²+（t-

9

2

）²，
若EF²+EG²=GF²，则有（

4

3

t-8）²+（t-6）²+（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²=2²+（t-

9

2

）²，整理得32t²-363t+1026=0，△=441，解得t=

171

32

，t=6（舍去），
若EF²+FG²=EG²，则有（

4

3

t-8）²+（t-6）²+2²+（t-

9

2

）²=（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²，整理得6t²-79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=

43

6

＞6（舍去），
若EG²+GF²=EF²，则有（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²+2²+（t-

9

2

）²=（

4

3

t-8）²+（t-6）²，解得t=

9

2

，
综上可知当△EFG为直角三角形时，t=

21

32

或t=

3

2

或t=

9

2

或t=

171

32

；
（3）直线MN为y=-

3

4

x+t，G（2，

3

2

），
GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=

4

3

x-

7

6

，在y=

4

3

x-

7

6

中，
令x=0，可得：y=-

7

6

，∴G′（0，-

7

6

），GG′中点（1，

1

6

），代入直线MN为y=-

3

4

x+t，解得t=

11

12

，
令y=0，可得：x=

7

8

，∴G′（

7

8

，0），GG′中点（

23

16

，

3

4

），代入直线MN为y=-

3

4

x+t，解得t=

117

64

，
令x=4，可得：y=

25

6

，∴G′（4，

25

6

），GG′中点（3，

17

6

），代入直线MN为y=-

3

4

x+t，解得t=

61

12

，
令y=3，可得：x=

25

8

，∴G′（

25

8

，3），GG′中点（

41

16

，

9

4

），代入直线MN为y=-

3

4

x+t，解得t=

267

64

，
综上可知满足条件的t的值为

11

12

或

117

64

或

61

12

或

267

64

．

点评：本题主要考查一次函数解析式和相似三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程的综合应用，在（1）中能分别用t表示出△EFG中的底和高是解题的关键，在（2）中注意分情况讨论，在（3）中由条件得出GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，是解题的关键．本题计算量比较大，且情况较多，较易漏掉其中一种情况．