[题目]在平面直角坐标系中.正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A.B(-2.-2).C(4.-2).D(4,4).(1)填空:正方形的面积为 ,当双曲线与正方形ABCD有四个交点时.k的取值范围是 .(2)已知抛物线L:顶点P在边BC上.与边AB.DC分别相交于点E.F.过点B的双曲线与边DC交于点N.①点Q(m.-m2-2m+3)是平面内一动点.在抛物线L的运动过程中.点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).

(1)填空：正方形的面积为_______；当双曲线(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是_______.

(2)已知抛物线L：(a>0)顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线(k≠0)与边DC交于点N.

①点Q(m，-m2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标.

②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求的值.

③求证：抛物线L与直线的交点M始终位于轴下方.

【答案】(1)36；0<k<4或-8<k<0；(2)①最高点(-1,4)；最低点(4，-21)；②；③证明见解析.

【解析】

（1）由坐标求出正方形的边长，即可求出面积，讨论反比例函数在一、三象限和二、四象限时，利用数形结合求出k的范围；

（2）①由题意可知，，

分，和分别讨论Q点符合条件的坐标；

②将点B（-2，-2）代入双曲线，可求k=4和N（4，1），再表示出点E和F，可推出BE=，CF= ，，再根据AE=NF可推出，进而可求的值；

③由题意得，M，，当m=1时，最小为，当或4时，最大为，再分别讨论当m=4时,根据E点不与B点重合，列出不等式可得，当时， F点不与C点重合列出不等式可得，即可得证.

解：（1）由点A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的边长为6，

∴正方形面积为36；

当反比例函数在一、三象限时，若经过B（-2，-2）则，若经过D(4,4)，则，根据图像特征，要有4个交点，则0<k<4；

当反比例函数在二、四象限时，若经过A(-2,4)则，若经过C(4，-2)则，根据图像特征，要有4个交点，则-8<k<0，

综上，k的取值范围是0<k<4或-8<k<0.

（2）①由题意可知，，

当m=-1，最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4）

当m<-1时，随m的增大而增大，当m=-2时，最小=3，

当m>-1时，随m的增大而减小，当m=4时，最小=-21，

3>-21，∴最小=-21，点Q在最低位置时的坐标（4，-21）

∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标为（4，-21）

②将点B（-2，-2）代入双曲线得，∴k=4，∴反比例函数解析式为

N点横坐标x=4，代入得，∴N（4，1）

由顶点P（m，n）在边BC上，∴，BP=，CP=

E点横坐标x=-2，F点横坐标x=4，分别代入抛物线可得

E，F，

∴BE=，CF= ，

∴，

又∵AE=NF，点F在点N下方，

∴

化简得，∴

③由题意得，M，，

∵二次函数对称轴为m=1，，

∴当m=1时，取得最小值为，

当或4时，最大为，

当m=4时，抛物线L为，

E点横坐标为-2，代入抛物线得，∴E

F点横坐标为x=4，代入抛物线得，∴

∵E点在AB边上，且此时不与B重合，

∴，解得

∴，∴

当时，抛物线L为

同理可得E，F

∵F在CD边上，且此时不与C重合

∴，解得，

∴，∴

综上，抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方.

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