Question

19．如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为$\widehat{AB}$上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{33}}{2}$
• B． $\sqrt{33}$
• C． 2$\sqrt{33}$
• D． 33

Answer 1

分析 延长ME，交⊙O于点G，连接MO，过点O作OH⊥MG于点H．由AE=EF=FB，EG∥NF可知EG=NF，由⊙O的直径AB=12可以得知OE=2，在Rt△EHO中由特殊角的三角函数值可求出OH的长度，再由垂径定理可知MH=$\frac{1}{2}$MG，在Rt△MHO中由勾股定理得出MH的值，从而得出MG的值，由MG=ME+EG=EM+FN可得知结论．

解答 解：延长ME，交⊙O于点G，连接MO，过点O作OH⊥MG于点H，如图所示．

∵AE=FE=FB，EG∥NF，OA=OB，
∴根据圆的对称性可得：EG=NF，
∴MG=ME+NF．
∵⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，
∴AE=EF=FB=4，AO=OB=OM=6，
∴OE=2．
又∵∠∠MEB=∠NFB=60°，
∴OH=OE•sin∠HEO=$\sqrt{3}$．
∵OM=6，
∴MH=$\sqrt{O{M}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
∴MG=2MH=2$\sqrt{33}$．
即EM+FN=2$\sqrt{33}$．
故选C．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理以及垂径定理，解题的关键是找出MG=EM+FN，由勾股定理求出$\frac{1}{2}$MG的长度．本题属于中档题，有点难度，很多学生不知道如何去着手，在解决该类题型时，可以利用圆的对称性寻找相等的量，以达到整体替换的效果．