Question

14．已知等腰直角三角形ABC和线段AD，将线段AD逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE、DC，点P是线段CD的中点．

（1）若点D在线段BC上，点Q是线段DE的中点，连接PQ．
①在图1中补全图形；
②写出线段PQ与线段BD的关系，并证明．
（2）如图2，连接BE，写出线段AP与BE的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）①根据题意画出图形即可；
②结论：BD=2PQ，PQ⊥BD，只要证明△BAD≌△CAE，再利用三角形中位线定理即可证明．
（2）结论：BE=2AP，BE⊥PA，延长AP到M使得PM=AP，连接CM，只要证明△APD≌△MPC，△BAE≌△ACM即可解决问题．

解答 解：（1）①见图1．
②结论：BD=2PQ，PQ⊥BD．
理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°，
∴PQ⊥BD，
∵DQ=QE，DP=PC，
∴EC=2PQ，
∴BD=2PQ．
（2）结论：BE=2AP，BE⊥PA，
理由：如图2中，延长AP到M使得PM=AP，连接CM，
在△APD和△MPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=CM}\\{∠APD=∠MPC}\\{PD=CP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△MPC，
∴CM=AD=AE，∠DAP=∠M，
∴AD∥CM，
∴∠DAC+∠ACM=180°，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=∠ACM，
在△BAE和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACM}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACM，
∴BE=AM，∠ABE=∠CAM，
∴BE=2AP，
∵∠ABE+∠AHB=90°，
∴∠CAM+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BE⊥AP．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是寻找正确全等三角形，属于中考常考题型．