在等腰Rt△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.在△ABC外作∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC.点D为直线BC上的动点.过点D作直线CM的垂线.垂足为E.交直线AC于F．(1)当点D在线段BC上时.如图1所示.①∠EDC=22.5°,②探究线段DF与EC的数量关系.并证明,(2)当点D运动到CB延长线上时.请你画出图形.并证明此时DF与EC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外作∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，点D为直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．
（1）当点D在线段BC上时，如图1所示，①∠EDC=22.5°；
②探究线段DF与EC的数量关系，并证明；
（2）当点D运动到CB延长线上时，请你画出图形，并证明此时DF与EC的数量关系．

分析（1）①由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠BCM=67.5°，即可得出∠EDC的度数；
②作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，证明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA证明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出结论；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，证明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA证明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出结论．

解答（1）①解：如图1所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∵DE⊥CM，
∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°；
故答案为：22.5；
②DF=2CE．理由如下：
证明：作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图2所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}&{\;}\\{ND=NC}&{\;}\\{∠PDE=∠PCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．
（2）DF=2CE；理由如下：
证明：作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图3所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}&{\;}\\{ND=NC}&{\;}\\{∠PDE=∠PCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

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