【题目】如图,△ABC是等边三角形,⊙O过点B,C,且与BA,CA的延长线分别交于点D,E,弦DF∥AC,EF的延长线交BC的延长线于点G.
(1)求证:△BEF是等边三角形;
(2)若BA=4,CG=2,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)BF=2.
【解析】
试题分析:(1)根据三角形ABC是等边三角形,得到∠BCA=∠BAC=60°,再根据圆周角定理的推论得到∠BFE=∠BCA=60°.根据两条平行弦所夹的弧相等证明弧DE=弧CF,从而得到∠EBD=∠CBF,∠EBF=∠ABC=60°,从而证明结论;
(2)结合等边三角形的边相等,尽量能够把已知的线段和未知的线段放到两个相似三角形中,进行求解.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BCA=∠BAC=60°,
∵DF∥AC,
∴∠D=∠BAC=60°,∠BEF=∠D=60°,
又∵∠BFE=∠BCA=60°,
∴△BEF是等边三角形.
(2)解:∵∠ABC=∠EBF=60°,
∴∠FBG=∠ABE,
又∠BFG=∠BAE=120°,
∴△BFG∽△BAE,
∴ ,
又BG=BC+CG=AB+CG=6,BE=BF,
∴BF2=ABBG=24,
可得BF=2(舍去负值).
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【题目】已知线段OA⊥OB,C为OB的中点,D为AO上一点,连接AC,BD交于点P.
(1)如图①,当OA=OB,且D为AO的中点时,求的值;
(2)如图②,当OA=OB,=时,求tan ∠BPC的值.
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【题目】周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是( )
A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论:
①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED,其中一定成立的是( )
A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤
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【题目】某住宅小区有一正南朝向的居民楼,如下图,该居民楼的一楼是高6m的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼前方15m处准备盖一幢高20m的新楼.已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32°.
(1)超市以上居民住房采光是否受到影响?为什么?
(2)若要使居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?
(结果保留整数,参考数据:sin32o≈,cos32o≈,tan32o≈)
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