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【题目】如图,ABC是等边三角形,O过点B,C,且与BA,CA的延长线分别交于点D,E,弦DFAC,EF的延长线交BC的延长线于点G.

(1)求证:BEF是等边三角形;

(2)若BA=4,CG=2,求BF的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)BF=2.

【解析】

试题分析:(1)根据三角形ABC是等边三角形,得到BCA=BAC=60°,再根据圆周角定理的推论得到BFE=BCA=60°.根据两条平行弦所夹的弧相等证明弧DE=弧CF,从而得到EBD=CBF,EBF=ABC=60°,从而证明结论;

(2)结合等边三角形的边相等,尽量能够把已知的线段和未知的线段放到两个相似三角形中,进行求解.

(1)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴∠BCA=BAC=60°

DFAC,

∴∠D=BAC=60°BEF=D=60°

∵∠BFE=BCA=60°

∴△BEF是等边三角形.

(2)解:∵∠ABC=EBF=60°

∴∠FBG=ABE,

BFG=BAE=120°

∴△BFG∽△BAE,

又BG=BC+CG=AB+CG=6,BE=BF,

BF2=ABBG=24,

可得BF=2(舍去负值).

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