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【题目】如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求点D的坐标;

(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+3x;(2) 点D坐标为(1,);(3)存在,N1(2,0),N2(6,0),N3(--1,0),N4-1,0).

【解析】

试题分析:(1)由OA的长度确定出A的坐标,再利用对称性得到顶点坐标,设出抛物线的顶点形式y=a(x-2)2+3,将A的坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;

(2)设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入求出k与b的值,确定出直线AC解析式,与抛物线解析式联立即可求出D的坐标;

(3)存在,分两种情况考虑:如图所示,当四边形ADMN为平行四边形时,DM∥AN,DM=AN,由对称性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根据OA+AN求出ON的长,即可确定出N的坐标;当四边形ADM′N′为平行四边形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,将y=-代入得:-=-x2+3x,求出x的值,确定出OP的长,由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标.

试题解析:(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4,OC=3,得:E(2,3),

设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3,

将A(4,0)坐标代入得:0=4a+3,即a=-

则抛物线解析式为y=-(x-2)2+3=-x2+3x;

(2)设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0),

将A(4,0)与C(0,3)代入得:

解得:

故直线AC解析式为y=-x+3,

与抛物线解析式联立得:

解得:

则点D坐标为(1,);

(3)存在,分两种情况考虑:

①当点M在x轴上方时,如图1所示:

四边形ADMN为平行四边形,DM∥AN,DM=AN,

由对称性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,

∴N1(2,0),N2(6,0);

②当点M在x轴下方时,如图2所示:

过点D作DQ⊥x轴于点Q,过点M作MP⊥x轴于点P,可得△ADQ≌△NMP,

∴MP=DQ=,NP=AQ=3,

将yM=-代入抛物线解析式得:-=-x2+3x,

解得:xM=2-或xM=2+

∴xN=xM-3=--1或-1,

∴N3(--1,0),N4-1,0).

综上所述,满足条件的点N有四个:N1(2,0),N2(6,0),N3(--1,0),N4-1,0).

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